Question

已知一次函數y=kx+4的圖象分別與直線x=2和x=6交于點A、B，且y隨x的增大而增大，直線x=2和x=6又分別與x軸交于點D、C．
（1）要使四邊形ABCD的面積大于6，且小于64，試求k的取值范圍；
（2）設一次函數y=kx+4的圖象與x軸相交于點E，△BCE的外心P在第一象限，且到x軸與y軸的距離的和為6，求這個一次函數的解析式，并在直角坐標系內畫出草圖．

Answer 1

解：如圖，
（1）當x=2時，DA=2k+4，當x=6時，BC=6k+4，S_{四邊形ABCD}=CD（AD+BC）=4（2k+4）（6k+4）=16k+16，
∵四邊形ABCD的面積大于6，且小于64，
∴6＜16k+16＜64，
∴-＜k＜3；
（2）作OF⊥x軸于F，OG⊥y軸于G，
設O點坐標為（x，y），則O（x，kx+4），
根據垂徑定理可知，CF=FE，
則有6-x=x-（-），
又∵O到x軸和y軸的距離之和為6，
∴x+kx+4=6，
組成方程組為，
整理，得3k²-k-2=0，
解得k₁=1，k₂=-．
由于y隨x的增大而增大，則k=1，函數解析式為y=x+4．
分析：（1）將x=2，x=6分別代入y=kx+4求出DA、CB，再根據梯形的面積公式求出梯形的面積；
（2）作OF⊥x軸于F，OG⊥y軸于G，根據CF=FE和O到x軸和y軸的距離之和為6，列出方程組求出k的值．
點評：本題考查了一次函數與圓相結合的問題，同時涉及垂徑定理、梯形的面積公式等問題，綜合性較強．