Question

如圖，在Rt△POQ中，OP=OQ=5，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B．

（1）求證：MA=MB；

（2）探究：在旋轉三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出四邊形AOBM的面積．

Answer 1

1）證明：如圖，過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，

∵∠O=90°，

∴四邊形OEMF是矩形，

∵M是PQ的中點，OP=OQ=4，∠O=90°，

∴ME=OQ=2，MF=OP=2，

∴ME=MF，

∴四邊形OEMF是正方形，

∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，

∴∠AME=∠BMF，

在△AME和△BMF中，

，

∴△AME≌△BMF（ASA），

∴MA=MB；

（2）解：四邊形AOBM的面積不發生變化；

理由：由（1）得出：AE=FB，OF=FQ=OE，

∴BQ=FQ﹣BF=EO﹣AE=AO，

∴PA+BQ=PO=5，

∵四邊形AOBM的面積為：S_△POQ﹣S_△MPA﹣S_△MQB=×PO×QO﹣（PA+BQ）×ME=×5×5﹣×5×=．