Question

如圖，在Rt△POQ中，OP=OQ=5，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B．
（1）求證：MA=MB；
（2）探究：在旋轉三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出四邊形AOBM的面積．

Answer 1

分析：（1）過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，可得四邊形OEBF是矩形，根據三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）利用四邊形AOBM的面積為：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB進而得出即可．

解答：（1）證明：如圖，過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，
∵∠O=90°，
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中點，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=

1

2

OQ=2，MF=

1

2

OP=2，
∴ME=MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME=∠BMF ME=MF ∠AEM=∠BFM

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：四邊形AOBM的面積不發生變化；
理由：由（1）得出：AE=FB，OF=FQ=OE，
∴BQ=FQ-BF=EO-AE=AO，
∴PA+BQ=PO=5，
∵四邊形AOBM的面積為：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB=

1

2

×PO×QO-

1

2

（PA+BQ）×ME=

1

2

×5×5-

1

2

×5×

5

2

=

25

4

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角的性質，三角形的中位線定理，勾股定理的應用，作出輔助線，把動點問題轉化為固定的圖形，構造出全等三角形是解題的關鍵．