Question

如圖，在直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（-1，0）、（3，0）（0，3），過A、B、C三點的拋物線的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．
①求拋物線的解析式；
②求當AD+CD最小時點D的坐標，并求出AD+CD的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法即可求函數解析式；
（2）AD+BC的最小值就是線段BC的長，據此即可求解．

解答：解：（1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c．
根據題意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

解得：

a=-1 b=2 c=3

則拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3；

（2）拋物線的對稱軸是：x=1
則A關于x=1的對稱點坐標是B．
∵B、C的坐標分別為（3，0）、（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∵點D在直線x=1上，
∴點D的坐標為（1，2）．
則BC=

32+32

=3

2

即AD+CD的最小值是3

2

．

點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，以及軸對稱的性質的應用，正確理解AD+BC最小的條件是解題的關鍵．