Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．動點P從D點出發沿DC以每秒1個單位的速度向終點C運動，動點Q從C點出發沿CB以每秒2個單位的速度向B點運動．兩點同時出發，當P點到達C點時，Q點隨之停止運動．運動時間為t秒．
（1）當PQ∥AB時，P點離開D點的時間等于多少秒？
（2）設五邊形ABQPD的面積為S，寫出S與t的函數關系式．
（3）PQ能否平分梯形ABCD，說明理由．
（4）當t為何值時，P、Q、C三點構成直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P點離開D點的t秒時PQ∥AB，過點D作DM∥AB交BC于點M，則PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，由相似三角形的性質即可求出t的值；
（2）分別過點A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，先由等腰梯形的性質求出BE的長，再由勾股定理求出AE的長，根據∠B=∠C，用t表示出PG的長，再由S_{五邊形ABQPD}=S_梯形ABCD-S_△PQC即可得出結論；
（3）由（2）可知，S_梯形ABCD=36，PG=4-t，假設PQ能平分梯形ABCD，則S_△PQC=18，由此可得出關于t的一元二次方程，求出此方程無解即可；
（4）分別當∠PQC=90°時，易證，△CQP∽△CND，當∠CPQ=90°時，易證△CQP∽△CDN，進而得出即可．
解答：解：（1）設P點離開D點的t秒時PQ∥AB，過點D作DM∥AB交BC于點M，則PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，
∵AB∥MD，PQ∥AB，
∴PQ∥MD，
∴=，
∵CD=5，AD=6，BC=12，
∴MC=BC-BM=12-6=6，
∴=，
解得t=（秒）；

（2）如圖2，分別過點A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=12，
∴BE===3，
∵AB=5，
∴AE===4，
∴sinB==，
∵∠B=∠C，sinC==，
∴=，
解得PG=4-t，
∴S_{五邊形ABQPD}=S_梯形ABCD-S_△PQC=×（6+12）×4-×2t×（4-t），即S=t²-4t+36（0＜t≤5）；

（3）不能．
∵由（2）可知，S_梯形ABCD=36，PG=4-t，假設PQ能平分梯形ABCD，則S_△PQC=18，
∴×2t×（4-t）=18，即2t²-10t+45=0，
∵△=（-10）²-4×2×45=-260＜0，
∴此方程無解，
∴PQ不能平分梯形ABCD；

（4）如圖3，過點D作DN⊥BC于點N，
∵當∠PQC=90°時，△CQP∽△CND，
∴=，=，解得t=；
如圖4，過點D作DN⊥BC于點N，
∵當∠CPQ=90°時，△CQP∽△CDN，
∴=，=，解得t=．
綜上所述，當t=或t=時點P、Q、C三點構成直角三角形．
點評：本題考查的是相似形綜合題及等腰梯形的性質、銳角三角函數的定義，根據題意作出輔助線，構造出相似三角形及直角三角形是解答此題的關鍵．