Question

已知兩個全等的直角三角形紙片△ABC、△DEF，如圖1放置，點B、D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．
（1）若紙片△DEF不動，把△ABC繞點F逆時針旋轉30°時，連結CD，AE，如圖2．
①求證：四邊形ACDE為梯形；
②求四邊形ACDE的面積．
（2）將圖1中的△ABC繞點F按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，直接寫出△ABC恰有一邊與DE平行的時間．（寫出所有可能的結果）

Answer 1

【答案】分析：（1）①求出∠FOD=∠ACB=90°，推出AC∥DE，根據梯形判定推出即可；
②求出FO，求出BO，求出梯形高CO，根據梯形面積公式求出即可；
（2）當t=3時，AC∥DE，當t=12時，BC∥DE，當t=15時，AB∥DE、當t=21時，AC∥DE、當t=30時，BC∥DE，當t=33時，AB∥DE．
解答：（1）①證明：如圖2，∵∠BFD=30°、∠EDF=60°，
∴∠FOD=90°=∠ACB，
∴AC∥BD，且AC≠BD，
∴四邊形ACDE為梯形；

②解：BC交DE于O，在Rt△FDO中，FD=2，∠OFD=30°
∴FO=，而CF=2-2
∴CO=3-2，
∴S_{四邊形ACDE}=×（2+4）×（3-2）=9-6；

（2）解：△ABC恰有一邊與DE平行的時間是：3、12、15、21、30、33．
點評：本題考查了勾股定理，梯形的性質和判定，三角形的內角和定理，旋轉的性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．