Question

如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求線段AD所在直線的函數表達式；
（2）動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，按照A?D?C?B?A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒、求t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOD中，根據OA的長以及∠BAD的正切值，即可求得OD的長，從而得到D點的坐標，然后利用待定系數法可求得直線AD的解析式．
（2）由于點P沿菱形的四邊勻速運動一周，那么本題要分作四種情況考慮：
在Rt△OAD中，易求得AD的長，也就得到了菱形的邊長，而菱形的對角線平分一組對角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；
①當點P在線段AD上時，若⊙P與AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R為⊙P的半徑），由此可求得AP的長，即可得到t的值；
②③④的解題思路與①完全相同，只不過在求t值時，方法略有不同．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°=2

3

，
∴點D的坐標為（0，2

3

），（1分）
設直線AD的函數表達式為y=kx+b，

-2k+b=0 b=2 3

，
解得

k= 3 b=2 3

．
∴直線AD的函數表達式為y=

3

x+2

3

．（3分）

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，（5分）
如圖所示：
①點P在AD上與AC相切時，
連接P₁E，則P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2．（6分）
②點P在DC上與AC相切時，
CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6．（7分）
③點P在BC上與AC相切時，
CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10．（8分）
④點P在AB上與AC相切時，
AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．（9分）

點評：此題主要考查了一次函數解析式的確定、解直角三角形、菱形的性質、切線的判定和性質等；需要注意的是（2）題中，點P是在菱形的四條邊上運動，因此要將所有的情況都考慮到，以免漏解．