Question

關于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0．
（1）證明：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設這個方程的兩個實數根為x₁，x₂，試猜測x₁和x₂是同號還是異號，并對你的結論加以證明．
（3）若x₁和x₂滿足|x₁|=|x₂|-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先計算判別式得到△=（m-3）²+4m²，配方得到△=5（m-

3

5

）²+

36

5

，然后根據非負數的性質和判別式的意義即可得到結論；
（2）根據根與系數的關系得x₁•x₂=-m²≤0，則可判斷x₁，x₂異號；
（3）根據根與系數的關系得x₁+x₂=m-3，再分類討論：若x₁＞0，x₂＜0，則m-3=-2；若x₁＜0，x₂＞0，則m-3=2，然后分別解方程求出m．

解答：（1）證明：△=（m-3）²+4m²
=5（m-

3

5

）²+

36

5

，
∵5（m-

3

5

）²≥0，
∴5（m-

3

5

）²+

36

5

＞0，即△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：x₁和x₂異號．理由如下：
∵x₁•x₂=-m²≤0，
∴x₁，x₂異號；

（3）解：根據題意得x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m²，
∵|x₁|=|x₂|-2，
∴|x₁|-|x₂|=-2，
若x₁＞0，x₂＜0，上式化簡得：x₁+x₂=-2，
∴m-3=-2，解得m=1；
若x₁＜0，x₂＞0，上式化簡得：-（x₁+x₂）=-2，
∴m-3=2，解得m=5，
∴m的值為1或5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程根與系數的關系．