Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（1，-），已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過三點A、B、O（O為原點）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如果點P是該拋物線上x軸上方的一個動點，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．（注意：本題中的結果均保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）直接將A、O、B三點坐標代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；
（2）因為點A，O關于對稱軸對稱，連接AB交對稱軸于C點，C點即為所求，求直線AB的解析式，再根據C點的橫坐標值，求縱坐標；
（3）設P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），用割補法可表示△PAB的面積，根據面積表達式再求取最大值時，x的值．
解答：解：（1）將A（-2，0），B（1，-），O（0，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c（a≠0），
可得：，
解得：，
故所求拋物線解析式為y=-x²-x；

（2）存在．理由如下：
如答圖①所示，
∵y=-x²-x=-（x+1）²+，
∴拋物線的對稱軸為x=-1．
∵點C在對稱軸x=-1上，△BOC的周長=OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，
∵點O與點A關于直線x=-1對稱，有CO=CA，
△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA，
∴當A、C、B三點共線，即點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點時，BC+CA最小，此時△BOC的周長最小．
設直線AB的解析式為y=kx+t，則有：
，解得：，
∴直線AB的解析式為y=-x-，
當x=-1時，y=-，
∴所求點C的坐標為（-1，-）；

（3）設P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），
則y=-x²-x  ①
如答圖②所示，過點P作PQ⊥y軸于點Q，PG⊥x軸于點G，過點A作AF⊥PQ軸于點F，過點B作BE⊥PQ軸于點E，則PQ=-x，PG=-y，
由題意可得：S_△PAB=S_梯形AFEB-S_△AFP-S_△BEP
=（AF+BE）•FE-AF•FP-PE•BE
=（y++y）（1+2）-y•（2+x）-（1-x）（+y）
=y+x+  ②
將①代入②得：S_△PAB=（-x²-x）+x+
=-x²-x+
=-（x+）²+
∴當x=-時，△PAB的面積最大，最大值為，
此時y=-×+×=，
∴點P的坐標為（-，）．
點評：本題考查了坐標系中點的坐標求法，拋物線解析式的求法，根據對稱性求線段和最小的問題，也考查了在坐標系里表示面積及求面積最大值等問題；解答本題（3）也可以將直線AB向下平移至與拋物線相切的位置，聯立此時的直線解析式與拋物線解析式，可求唯一交點P的坐標．