Question

（2003•廣東）如圖，燈塔A周圍1000米水域內有礁石，一艦艇由西向東航行，在O處測得燈塔A在北偏東74°方向線上，這時O、A相距4200米，如果不改變航向，此艦艇是否有觸礁的危險？（指定數學課使用科學記算器的地區的考生須使用計算器計算．以下數據供計算器未進入考場的地區的考生選用：cos74°=0.2756，sin74°=0.9613，cot74°=0.2867，tan74°=3.487）

Answer 1

【答案】分析：本題可通過構造直角三角形來求解．過A作AB與正東方向線垂直，垂足為B．那么只需比較AB的值是否大于1000，如果大于則沒有觸礁危險，反之則有，那么求AB就是問題的關鍵，直角三角形AOB中，∠AOB的度數是容易求出的，又已知了OA的長，AB就不難求出了．
解答：解：過A作AB與正東方向線垂直，垂足為B．
在Rt△AOB中，OA=4200，∠AOB=90°-74°=16°
∴AB=AO•sin∠AOB
=4200•sin16°
=4200•cos74°
=4200×0.2756
≈1158（米）＞1000（米）
答：此艦按原航向繼續航行沒有觸礁危險．
點評：本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中，使問題解決．