Question

如圖，氣象部門預報：在海面上生成了一股較強臺風，在距臺風中心60千米的圓形區域內將會受嚴重破壞．臺風中心正從海岸M點登陸，并以72千米/時的速度沿北偏西60°的方向移動．已知M點位于A城的南偏東15°方向，距A城千米；M點位于B城的正東方向，距B城千米．假設臺風在移動過程中，其風力和方向保持不變，請回答下列問題：
（1）A城和B城是否會受到此次臺風的侵襲？并說明理由；
（2）若受到此次臺風侵襲，該城受到臺風侵襲的持續時間有多少小時？

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形，可求出AM，則可以判斷A城是否會受到此次臺風的侵襲．
同理，過B作BH₁⊥MN于H₁，求出BH₁，可以判斷B城是否會受到此次臺風的侵襲．
（2）求該城市受到臺風侵襲的持續時間，以B為圓心60為半徑作圓與MN交于T₁、T₂，則T₁T₂就是臺風影響時經過的路徑，求出后除以臺風的速度就是時間．
解答：解：（1）設臺風中心運行的路線為射線MN，于是∠AMN=60°-15°=45°．
過A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形．
∵AM=，∠AMH=60°-15°=45°，
∴AH=AM•sin45°=61＞60．
∴A城不會受到臺風的影響；
過B作BH₁⊥MN于H₁．
∵MB=，∠BMN=90°-60°=30°，
∴BH₁=×＜60，
因此B城會受到臺風的影響．

（2）以B為圓心60為半徑作圓與MN交于T₁、T₂，則BT₁=BT₂=60．
在Rt△BT₁H₁中，sin∠BT₁H₁=，
∴∠BT₁H₁=60°．
∴△BT₁T₂是等邊三角形．
∴T₁T₂=60．
∴臺風中心經過線段T₁T₂上所用的時間 =小時．
因此B城受到臺風侵襲的時間為 小時．
點評：本題考查解直角三角形的應用，有一定的難度，解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．