Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC為弦作⊙O，交AC于點D，OD與BC交于點E，若AB與⊙O相切，則下列結論：

①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤

正確的有（　　）

A. ①② B. ①④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】根據同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，由圓周角∠ACB=45°得到圓心角∠BOD=90°，進而得到的度數為90°，故選項①正確；

又因OD=OB，所以△BOD為等腰直角三角形，由∠A和∠ACB的度數，利用三角形的內角和定理求出∠ABC=180°-60°-45°=75°，由AB與圓切線，根據切線的性質得到∠OBA為直角，求出∠CBO=∠OBA-∠ABC=90°-75°=15°，由根據∠BOE為直角，求出∠OEB=180°-∠BOD-∠OBE=180°-90°-15°=75°，根據內錯角相等，得到OD∥AB，故選項②正確；

由D不一定為AC中點，即CD不一定等于AD，而選項③不一定成立；

又由△OBD為等腰三角形，故∠ODB=45°，又∠ACB=45°，等量代換得到兩個角相等，又∠CBD為公共角，根據兩對對應角相等的兩三角形相似得到△BDE∽△BCD，故④正確；

連接OC，由相似三角形性質和平行線的性質，得比例，由BD=OD，等量代換即可得到BE等=DE，故選項⑤正確．

綜上，正確的結論有4個．
故選：C.