Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（，）的拋物線交y軸于點C（0，﹣2），交x軸于點A，B（點A在點B的左側）．P點是y軸上一動點，Q點是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P點運動到何位置時，△POA與△ABC相似？并求出此時P點的坐標；

（3）當以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，求Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線為；（2）P點的坐標為（0，±2），（0，±）；（3）（﹣5，18），（5，3），（3，﹣2）．

【解析】

（1）設頂點式拋物線解析式，將點C的坐標代入即可；

（2）先求出點A、B的坐標，證明△ACB是直角三角形，分兩種對應關系利用三角形相似求出點P的坐標；

（3）分三種情況：①Q點的橫坐標為﹣5；②Q點的橫坐標為5；③Q點的橫坐標為﹣1+4＝3；代入拋物線的解析式求出它們的縱坐標，從而求得Q點的坐標．

解：（1）設拋物線為y＝a（x﹣）2﹣，

∵拋物線經過點C（0，﹣2），

∴﹣2＝a（0﹣）2﹣，

a＝．

∴拋物線為；

（2）在原解析式中，令y＝0，則x2﹣x﹣2＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，

則點A為（﹣1，0），點B為（4，0），

則AB＝5，AC＝，BC＝2，

∵（）2+（2）2＝52，

∴△ACB是直角三角形，

①設OP的長為x，則有

，

解得x＝2；

②設OP的長為y，則有

，

解得y＝；

則P點的坐標為（0，±2），（0，±）；

（3）因為以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形，

所以分三種情況：

①Q點的橫坐標為﹣5，y＝×（﹣5）2﹣×（﹣5）﹣2＝18；

②Q點的橫坐標為5，y＝×52﹣×5﹣2＝3；

③Q點的橫坐標為﹣1+4＝3，y＝×32﹣×3﹣2＝﹣2．

所以Q點的坐標為（﹣5，18），（5，3），（3，﹣2）．