Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+4x+m﹣4（m為常數）與y軸的交點為C，M（3，0）與N（0，﹣2）分別是x軸、y軸上的點

（1）當m＝1時，求拋物線頂點坐標．

（2）若3≤x≤3+m時，函數y＝﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7，求m的值．

（3）若拋物線與線段MN有公共點，直接寫出m的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為（2，1）；（2）m＝2；（3）﹣≤m≤2．

【解析】

（1）利用配方法求頂點的坐標；

（2）根據二次函數的性質得到當x＝m+3時，y有最小值﹣7，即可得到﹣（m+3）2+4（m+3）+m﹣4＝﹣7，求解即可；

（3）求得直線MN的解析式，然后根據題意得到（﹣）2﹣4（﹣m+2）≥0且m﹣4≤﹣2，求解即可．

解：（1）當m＝1時，y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴頂點坐標為（2，1）；

（2）由題意可知，該拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝＝2，

∴當3≤x≤3+m時，y隨x的增大而減小，

∴當x＝m+3時，y取最小值﹣7，

∴﹣（m+3）2+4（m+3）+m﹣4＝﹣7，

解得：m1＝2，m2＝﹣3（舍去），

∴m＝2；

（3）∵M（3，0），N（0，﹣2），

設直線MN解析式為：y=kx+b(k≠0)，

則，解得：，

∴直線MN的解析式為y＝x﹣2，

∵拋物線與線段MN有公共點，則方程﹣x2+4x+m﹣4＝x﹣2，即x2﹣x﹣m+2＝0中△≥0，且m﹣4≤﹣2，

∴（﹣）2﹣4（﹣m+2）≥0，

解得：﹣≤m≤2，

故答案為：﹣≤m≤2．