Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2x+c經過點A（0，3），B（﹣1，0），請解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E，連接BD，求BD的長；

（3）點F在拋物線上運動，是否存在點F，使△BFC的面積為6，如果存在，求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）2；（3）存在，理由見解析.

【解析】

（1）拋物線y=ax2+2x+c經過點A（0，3），B（-1，0），則c=3，將點B的坐標代入拋物線表達式并解得：b=2，即可求解；
（2）函數的對稱軸為：x=1，則點D（1，4），則BE=2，DE=4，即可求解；
（3）△BFC的面積=×BC×|yF|=2|yF|=6，解得：yF=±3，即可求解．

解：（1）拋物線y＝ax2+2x+c經過點A（0，3），B（﹣1，0），

則c＝3，將點B的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝2，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）函數的對稱軸為：x＝1，則點D（1，4），

則BE＝2，DE＝4，

BD＝＝2；

（3）存在，理由：

△BFC的面積＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，

解得：yF＝±3，

故：﹣x2+2x+3＝±3，

解得：x＝0或2或1，

故點F的坐標為：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；