Question

某高科技公司根據市場需求，計劃生產A、B兩種型號的醫療器械，其部分信息如下：
信息一：A、B兩種型號的醫疔器械共生產80臺．
信息二：該公司所籌生產醫療器械資金不少于1800萬元，但不超過1810萬元．且把所籌資金全部用于生產此兩種醫療器械．
信息三：A、B兩種醫療器械的生產成本和售價如下表：

型號	A	B
成本（萬元/臺）	20	25
售價（萬元/臺）	24	30

根據上述信息．解答下列問題：
（1）該公司對此兩種醫療器械有哪幾種生產方案？哪種生產方案能獲得最大利潤？
（2）根據市場調查，每臺A型醫療器械的售價將會提高a萬元（a＞0）．每臺B型醫療器械的售價不會改變．該公司應該如何生產可以獲得最大利潤？（注：利潤=售價-成本）

Answer 1

分析：（1）利用題目提供的信息列出有關x的一元一次不等式組，解得有關醫療器械的取值范圍，得到方案即可；
（2）列出有關的不等式組，分類討論得到最大利潤方案即可．

解答：解：（1）設該公司生產A種中醫療器械x臺，
則生產B種中醫療器械（80-x）臺，
依題意得

20x+25(80-x)≥1800 20x+25(80-x)≤1810

，
解得38≤x≤40，
取整數得x=38，39，40，
∴該公司有3種生產方案：
方案一：生產A種器械38臺，B種器械42臺．
方案二：生產A種器械39臺，B種器械41臺．
方案三：生產A種器械40臺，B種器械40臺．
設公司獲得利潤為w，則W=（24-20）x+（30-25）（80-x）=-x+400
當x=38時，W有最大值．
∴當生產A種器械38臺，B種器械42臺時獲得最大利潤．

（2）依題意得，W=（4+a）x+5（80-x）=（4+a）x+400-5x=（a-1）x+400
當a-1＞0，即a＞1時，生產A種器械40臺，B種器械40臺，獲得最大利潤．
當a-1=0，即a=1時，（1）中三種方案利潤都為400萬元；
當a-1＜0，即0＜a＜1時，生產A種器械38臺，B種器械42臺，獲得最大利潤．

點評：本題考查了一次函數的應用，考查學生解決實際問題的能力，試題的特色是在要求學生能讀懂題意，并且會用函數知識去解題，以及會討論函數的最大值．要結合自變量的范圍求函數的最大值．