Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（，），與y軸交于C（，）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.

（1）求這個二次函數的表達式．
（2）連結PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP’C，那么是否存在點P，使四邊形POP’C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

Answer 1

（1）y=x²﹣2x﹣3；（2）存在，（，）；（3）（，-），.

試題分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；
（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；
（3） 由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析 式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC 的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．
試題解析：（1）將B、C兩點的坐標代入得
解得：；
所以二次函數的表達式為：y=x²﹣2x﹣3.
（2）存在點P，使四邊形POPC為菱形；
設P點坐標為（x，x²﹣2x﹣3），PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；
連接PP′，則PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴y=；
∴x²﹣2x﹣3=
解得:，（不合題意，舍去）
∴P點的坐標為（，）
（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x²﹣2x﹣3），
易得，直線BC的解析式為y=x﹣3則Q點的坐標為（x，x﹣3）；
S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•OF+QP•BF


當時，四邊形ABPC的面積最大
此時P點坐標為（，-）四邊形ABPC的面積的最大值為.
考點: 二次函數綜合題.