Question

（2008•山西）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O分別交CA，CB于點E，F，點G是AD的中點．求證：GE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：要證GE是⊙O的切線，只要證明∠OEG=90°即可．
解答：證明：（證法一）連接OE，DE，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中點，
∴EG=AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切線；

（證法二）連接OE，OG，
∵AG=GD，CO=OD，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OE，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠3．
又OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
∴GE是⊙O的切線．
點評：本題考查切線的判定方法及圓周角定理運用．