Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，，、兩點間的距離為，拋物線的對稱軸為．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，對稱軸上是否存在點，使，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

(3)如圖2，拋物線的頂點為，對稱軸交軸于點，點為拋物線上一點，點不與點重合． 當時，過點分別作軸的垂線和平行線，與軸交于點、與對稱軸交于點，得到矩形，求矩形周長的最大值；

Answer 1

【答案】(1) ，(2) 存在，,； (3)

【解析】

(1)根據拋物線的對稱軸方程以及A、B的距離得到、兩點的坐標，再根據很熟的開口方向即可得到函數的解析式；

(2) 根據中，以及，得到則的垂直平分線與對稱軸的交點即為點，求解即可得到P點坐標；

(3)分情況①時，以及②討論，根據分別計算，利用二次函數的性質即可得到答案；

解：(1) ∵拋物線與軸交于點、兩點，且 、兩點間的距離為，拋物線的對稱軸為，

∴，，

又∵函數開口向下，

∴拋物線的解析式；；

(2)中，，

∵，

∴

則如圖：

則的垂直平分線與對稱軸的交點即為點，

又∵對稱軸的方程為： ，

∴P點到x軸的距離也是3，即PD=3，

又∵P在第二象限，

∴,；

(3)設

①時，

即：

當時，；

②時，

當時， ；