Question

（2013•鄭州模擬）如圖1所示，已知二次函數y=ax²-6ax+c與x軸分別交于點A（2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，-8t）（t＞0）．
（1）求a、c的值及拋物線頂點D的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）如圖1，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數t的值；
（3）如圖2，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，-4）、（4，-3），邊HG位于邊EF的右側．若點P是邊EF或邊FG上的任意一點（不與E、F、G重合），請你說明以PA、PB、PC、PD的長度為邊長不能構成平行四邊形；
（4）將（3）中的正方形EFGH水平移動，若點P是正方形邊FG或EH上任意一點，在水平移動過程中，是否存在點P，使以PA、PB、PC、PD的長度為邊長構成平行四邊形，其中PA、PB為對邊．若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B、C三點的坐標代入已知的拋物線的解析式利用待定系數法及其求得a、c的值，配方后即可確定其頂點坐標；
（2）設拋物線對稱軸與x軸交點為M，則可得到AM=1，然后根據O′A=OA=2得到O′A=2AM，最后在Rt△OAC中，利用OC和OA的關系列出有關t的方程求得t值即可．
（3）本題需先分兩種情況進行討論，當P是EF上任意一點時，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．
（4）分假設點P為FG與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形和假設當點P為EH與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形兩種情況列出有關的方程求得t值即可．

解答：解：（1）把點A、C的坐標（2，0）、（0，-8t）代入拋物線y=ax²-6ax+c得，

4a-12a+c=0 c=-8t

，解得  

a=-t c=-8t

，
該拋物線為y=-tx²+6tx-8t=-t（x-3）²+t．
∴頂點D坐標為（3，t）                              
（2）如圖1，設拋物線對稱軸與x軸交點為M，則AM=1．
由題意得：O′A=OA=2．
∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°．
∴∠O′AC=∠OAC=60°
∴在Rt△OAC中：
∴OC=

3

•AO=2

3

，
即-8t=-2

3

．
∴t=

3

4

．        
（3）①如圖2所示，設點P是邊EF上的任意一點
（不與點E、F重合），連接PM．
∵點E（4，-4）、F（4，-3）與點B（4，0）在一直線上，
點C在y軸上，
∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB．
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．
②設P是邊FG上的任意一點（不與點F、G重合），
∵點F的坐標是（4，-3），點G的坐標是（5，-3）．
∴FB=3，GB=

10

，∴3≤PB≤

10

．
∵PC＞4，∴PC＞PB．
∴PB≠PA，PB≠PC．
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．        
（4）t=

3± 2

7

或

1

7

或1．                               
∵已知PA、PB為平行四邊形對邊，
∴必有PA=PB．
①假設點P為FG與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．
如圖3所示，只有當PC=PD時，線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．
∵點C的坐標是（0，-8t），點D的坐標是（3，t），
又點P的坐標是（3，-3），
∴PC²=3²+（-3+8t）²，PD²=（3+t）²．
當PC=PD時，有PC²=PD²
即 3²+（-3+8t）²=（3+t）²．
整理得7t²-6t+1=0，
∴解方程得t=

3± 2

7

＞0滿足題意．
②假設當點P為EH與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．
如圖4所示，只有當PC=PD時，線段PA、PB、PC、PD
能構成一個平行四邊形．
∵點C的坐標是（0，-8t），點D的坐標是（3，t），
點P的坐標是（3，-4），
∴PC²=3²+（-4+8t）²，PD²=（4+t）²．
當PC=PD時，有PC²=PD²
即 3²+（-4+8t）²=（4+t）²
整理得7t²-8t+1=0，
∴解方程得t=

1

7

或1均大于＞0滿足題意．
綜上所述，滿足題意的t=

3± 2

7

或

1

7

或1．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合問題，在解題時要注意運用數形結合和分類討論，把二次函數的圖象與性質和平行四邊形的判定相結合是本題的關鍵．