Question

小明設計了一個“簡易量角器”：如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=30cm，在AB邊上有一系列點P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA=10°，∠P₂CA=20°，∠P₃CA=30°，…∠P₈CA=80°．
（1）求P₃A的長（結果保留根號）；
（2）求P₅A的長（結果精確到1cm，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；
（3）小明發現P₁，P₂，P₃…P₈這些點中，相鄰兩點距離都不相同，于是計劃用含45°的直角三角形重新制作“簡易量角器”，結果會怎樣呢？請你幫他繼續探究．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接P₃C，求出P₃C=P₃A．P₃C=P₃B，推出P₃A=P₃B=AB．在Rt△ABC中，cos∠A=，求出AB==20cm，即可求出答案；
（2）連接P₅C，作P₅D⊥CA，垂足為D．∠P₅CA=50°，設CD=xcm．求出P₅D=CD•tan∠P₅CD=1.2x．求出DA=1.2x．根據CD+DA=30cm得出x+1.2x=30．求出x=．在Rt△P₅DA中，求出P₅A=2.4x，即可求出答案；
（3）在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，當P₁，P₂，P₃…P₈在斜邊上時，求出AC=BC，證△P₁CA≌△P₈CB，推出P₁A=P₈B．同理可得P₂A=P₇B，P₃A=P₆B，P₄A=P₅B．
解答：解：（1）連接P₃C，
∵∠P₃CA=∠A，
∴P₃C=P₃A．
又∵∠P₃CB=∠BCA-∠P₃CA=60°，且∠B=∠BCA-∠A=60°，
∴∠P₃CB=∠B，
∴P₃C=P₃B，
∴P₃A=P₃B=AB．
在Rt△ABC中，cos∠A=，
∴AB==20cm．
∴P₃A=AB=10cm．

（2）連接P₅C，作P₅D⊥CA，垂足為D．
由題意得，∠P₅CA=50°，設CD=xcm．
在Rt△P₅DC中，tan∠P₅CD=，
∴P₅D=CD•tan∠P₅CD=1.2x．
在Rt△P₅DA中，tan∠A=，
∴DA==1.2x．
∵CA=30cm，
∴CD+DA=30cm．
∴x+1.2x=30．
∴x=．
在Rt△P₅DA中，sin∠A=
∴P₅A==2.4x．
∴P₅A=2.4×≈24cm．

（3）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°．
當P₁，P₂，P₃…P₈在斜邊上時．
∵∠B=90°-∠A=45°，
∴∠B=∠A，∴AC=BC．
在△P₁CA和△P₈CB中，
∵∠P₁CA=∠P₈CB，AC=BC，∠A=∠B，
∴△P₁CA≌△P₈CB．∴P₁A=P₈B．
同理可得P₂A=P₇B，P₃A=P₆B，P₄A=P₅B．
則P₁P₂=P₈P₇，P₂P₃=P₇P₆，P₃P₄=P₆P₅．
在P₁，P₂，P₃…P₈這些點中，有三對相鄰點距離相等．
點評：本題考查了含30度角的直角三角形性質，解直角三角形，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的理解能力和推理能力，本題有一定的難度．