Question

兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉所形成的有關問題．
實驗與論證
設旋轉角∠A₁A_OB₁=α（α＜∠A₁A_OA₂），θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如圖所示．

（1）用含α的式子表示角的度數：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；
（2）圖2中，連接A_oH時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A_oH垂直且被它平分的線段？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由；
歸納與猜想
設正n邊形A_OA₁A₂…A_n-1與正n邊形A_OB₁B₂…B_n-1重合（其中A₁與B₁重合），現將正n邊形A_OB₁B₂…B_n-1繞頂點A_o逆時針旋轉α．
（3）試猜想在正n邊形的情況下，是否存在以A₁為端點的線段被直線A_oH垂直且平分？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．
（4）設θ_n與上述“θ₃，θ₄，…”的意義一樣，請直接寫出θ_n的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正三角形的性質得α+θ₃=60°，再由正方形的性質得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五邊形的性質得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在圖1中直線AH垂直且平分的線段A₂B₂，△AA₁A₂≌△AB₁B₂，推得A₂H=B₁H，則點H在線段A₂B₂的垂直平分線上；由AA₂=AB₁，則點A在線段A₂B₂的垂直平分線上，從而得出直線AH垂直且平分的線段A₂B₂
（3）當n為奇數時，θ_n=-α；
當n為偶數時，θ_n=α
（4）多寫幾個總結規律：
當n為奇數時，直線AH垂直平分 ，
當n為偶數時，直線AH垂直平分
解答：解：（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所選圖形的不同分別給出證明：
選圖如，圖中有直線AH垂直平分A₂B₂，證明如下：
方法一：
證明：∵△AA₁A₂與△AB₁B₂是全等的等邊三角形
∴AA₂=AB₂
∴∠AA₂B₂=∠AB₂A₂
又∵∠AA₂H=∠AB₂H=60°
∴∠HA₂B₂=∠HB₂A₂
∴A₂H=B₂H，∴點H在線段A₂B₂的垂直平分線上
又∵AA₂=AB₂，
∴點A在線段A₂B₂的垂直平分線上
∴直線AH垂直平分A₂B₂
方法二：
證明：∵△AA₁A₂與△AB₁B₂是全等的等腰三角形
∴AA₂=AB₂
∴∠AA₂B₂=∠AB₂A₂
又∵∠AA₂H=∠AB₂H=45°
∴∠HA₂B₂=∠HB₂A₂
∴A₂H=B₂H，
在△AA₂H與△AB₂H中
∵AA₂=AB₂，
HA₂=HB₂，∠A0A₂H=∠AB₂H
∴△AA₂H≌△AB₂H
∴∠AA₂H=∠B₂A₂H
∴AH是等腰三角形AA₂B₁的角平分線
∴直線AH垂直平分A₂B₂選圖如，圖中有直線AH垂直平分A₂B₂，
證明如下：
∵AB₂=AA₂∴∠AB₂A₂=∠AA₂B₂
又∵∠AB₂B₁=∠AA₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴點H在線段A₂B₂的垂直平分線上
又∵AB₂=AA₂，
∴點A在線段A₂B₂的垂直平分線上
∴直線AH垂直平分A₂B₂

（3）存在．
當n為奇數時，直線AH垂直平分 ，
當n為偶數時，直線AH垂直平分 ．
（4）當n為奇數時，θ_n=-α；
當n為偶數時，θ_n=α．
點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．