Question

四邊形OABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，點A、B、C的坐標分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），動點E自A點出發以每秒2個單位的速度沿A→B→C→O的路線移動，同時，點D以每秒1個單位的速度從O出發沿著射線OA方向運動，點M為OD的中點，當點D與A重合時停止一切運動．
（1）當點D與A重合時，點E的坐標是

（0，2）

；
（2）設△MDE的面積為S，運動時間為t，請寫出S與t的函數關系式，指出自變量的取值范圍，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出AB、BC的長度，然后計算出點D與點A重合需要的時間t，再由點E的運動速度即可得出點E經過時間t后的位置．
（2）分別討論點E位于AB、BC、OC上的情況，依次表示出S關于t的表達式，結合t的范圍得出S的最大值，然后比較即可得出S的最大值．

解答：解：（1）當點D與點A重合時，t=10s，則點E運動的路程=2×10=20，
過點B作BH⊥OA于點H，
則AB=

BH2+AH2

=10，
又∵BC=4，OC=8，
故點E所到的位置為（0，2）；


（2）①當0＜t≤5時，過點B作BH⊥OA，過點E作EF⊥OA于點F，如圖1所示：
則BH=8，AH=6，
易證△EFA∽△BHA，EF=2t×

4

5

，S=

1

2

×

t

2

×2t×

4

5

=

2

5

t2，
∵當t＞0時，S隨t的增大而增大，
∴t=5時，S_大=10．
②當5＜t≤7時，如圖2所示：
則S=

1

2

×

t

2

×8=2t，
當t=7時，S_大=14；
③當7＜t≤10時，如圖3所示，
則S=

1

2

×

t

2

×(22-2t)=-

1

2

t2+

11

2

t，
當t＞

11

2

時，S隨t的增大而減小，
∴t=7時，S_大=14；
綜上可得：S=

2 5 t2(0＜t≤5) 2t(5＜t≤7) - 1 2 t2+ 11 2 t(7＜t≤10)

，
當t=7時，S取得最大，最大值為14．

點評：本題考查了相似形綜合題，涉及了動點問題，解答本題關鍵是討論點E的位置，注意討論t的取值范圍，繼而確定S關于t的表達式，要數形結合進行思考，難度較大．