Question

如圖，海中有一小島P，在距小島P的16

2

海里范圍內有暗礁，一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東60°，且A、P之間的距離為32海里，若輪船繼續向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？請通過計算加以說明．如果有危險，輪船自A處開始至少沿東偏南多少度方向航行，才能安全通過這一海域？

Answer 1

分析：過P作PB⊥AM于B，則PC的長是A沿AM方向距離P點的最短距離，求出PC長和16

2

比較即可，第二問設出航行方向，利用特殊角的三角函數值確定答案．

解答：解：過P作PB⊥AM于B，

在Rt△APB中，∵∠PAB=30°，
∴PB=

1

2

AP=

1

2

×32=16海里，
∵16＜16

2

，
故輪船有觸礁危險．
為了安全，應該變航行方向，并且保證點P到航線的距離不小于暗礁的半徑16

2

海里，即這個距離至少為16

2

海里，
設安全航向為AC，作PD⊥AC于點D，

由題意得，AP=32海里，PD=16

2

海里，
∵sin∠PAC=

PD

AP

=

16 2

32

=

2

2

，
∴在Rt△PAC中，∠PAC=45°，
∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°．
答：輪船自A處開始至少沿東偏南15°度方向航行，才能安全通過這一海域．

點評：本題考查了解直角三角形的應用，關鍵是如何構造直角三角形并知道求哪一條線段的長，題目比較典型，是一道比較好的題目．