Question

如圖，城市A位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)B需從A市購進(jìn)大量生活、生產(chǎn)用品，如果鐵路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半．問該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使從A到B的運(yùn)費(fèi)最低？

Answer 1

分析：設(shè)AC=x千米，BC=y千米，AD=n千米，BD=m千米，鐵路每千米的運(yùn)費(fèi)為a元，從而得出A到B得運(yùn)費(fèi)s的表達(dá)式，將等式整理成關(guān)于y的一元二次方程，利用判別式大于等于0得出s的范圍，求出s的最小值后代入運(yùn)費(fèi)表達(dá)式，從而可求出y和x的值，這樣問題就解決了．

解答：解：設(shè)AC=x千米，BC=y千米，AD=n千米，BD=m千米，鐵路每千米的運(yùn)費(fèi)為a元，則公路每千米的運(yùn)費(fèi)為2a元，
則從A到B得運(yùn)費(fèi)s=a（n-

y2-m2

）+2ay①，即an-s+2ay=a

y2-m2

②，
兩邊平方整理得：3a²y²+4a（an-s）y+（an-s）²+a²m²=0，
可看作關(guān)于y的一元二次方程，△=[4a（an-s）]²-4×3a²[（an-s）²+a²m²]≥0，
即（an-s）²≥3a²m²，s-an≥

3

am，
從而可得s≥an+

3

am，故最小值為an+

3

am．
將s的值代入②可得an-（an+

3

am）+2ay=a

y2-m2

，
移項(xiàng)后可得：(

3

ay-2am)2=0，故

3

ay=2am，
解得：y=

2 3 m

3

，
從而可得x=n-

y2-m2

=n-

3

3

m．
答：修一條公路，使得鐵路與公路的交接點(diǎn)C距離A的距離為n-

3

3

m，此時(shí)的運(yùn)費(fèi)最低，為an+

3

am．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，關(guān)鍵在于將運(yùn)費(fèi)的表達(dá)式整理為一元二次方程，利用判別式求s的范圍，難點(diǎn)在于設(shè)出很多的未知數(shù)，同學(xué)們往往不敢設(shè)出那么多，以后要大膽的設(shè)，不一定未知數(shù)多不可解．