Question

如圖，城市A位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)B需從A市購進大量生活、生產(chǎn)用品，如果鐵路運費是公路運費的一半．問該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使從A到B的運費最低？

Answer 1

【答案】分析：設AC=x千米，BC=y千米，AD=n千米，BD=m千米，鐵路每千米的運費為a元，從而得出A到B得運費s的表達式，將等式整理成關于y的一元二次方程，利用判別式大于等于0得出s的范圍，求出s的最小值后代入運費表達式，從而可求出y和x的值，這樣問題就解決了．
解答：解：設AC=x千米，BC=y千米，AD=n千米，BD=m千米，鐵路每千米的運費為a元，則公路每千米的運費為2a元，
則從A到B得運費s=a（n-）+2ay①，即an-s+2ay=a②，
兩邊平方整理得：3a²y²+4a（an-s）y+（an-s）²+a²m²=0，
可看作關于y的一元二次方程，△=[4a（an-s）]²-4×3a²[（an-s）²+a²m²]≥0，
即（an-s）²≥3a²m²，s-an≥am，
從而可得s≥an+am，故最小值為an+am．
將s的值代入②可得an-（an+am）+2ay=a，
移項后可得：=0，故ay=2am，
解得：y=，
從而可得x=n-=n-m．
答：修一條公路，使得鐵路與公路的交接點C距離A的距離為n-m，此時的運費最低，為an+am．
點評：本題考查了函數(shù)的最值問題，綜合性較強，難度較大，關鍵在于將運費的表達式整理為一元二次方程，利用判別式求s的范圍，難點在于設出很多的未知數(shù)，同學們往往不敢設出那么多，以后要大膽的設，不一定未知數(shù)多不可解．