Question

（2014•寶山區一模）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A的坐標為（9，0），tan∠BOA=

3

3

，點C的坐標為（2，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為

67

．

Answer 1

分析：作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的頂點A的坐標為（9，0），
∴OA=9，
∵tan∠BOA=

3

3

，
∴AB=3

3

，∠B=60°，
∴∠AOB=30°，
∴OB=2AB=6

3

，
由三角形面積公式得：S_△OAB=

1

2

×OA×AB=

1

2

×OB×AM，即9×3

3

=6

3

AM，
∴AM=

9

2

，
∴AD=2×

9

2

=9，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=

1

2

AD=

9

2

，由勾股定理得：DN=

AD2-AN2

=

92-( 9 2 )2

=

9 3

2

，
∵C（2，0），
∴CN=9-

9

2

-2=

5

2

，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=

DN2+CN2

=

( 9 3 2 )2+( 5 2 )2

=

67

即PA+PC的最小值是

67

，
故答案為：

67

．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，關鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中．