Question

【題目】如圖，⊙O的半徑是2，弦AB=，點C為是優弧AB上一個動點，BD⊥BC交直線AC于點D，則△ABD的面積的最大值為___________ .

Answer 1

【答案】3

【解析】

連結OA，如圖，∠AOB=120°，根據圓周角定理得∠ACB=∠AOB=60°，由于BC⊥BD，所以∠D=30°，因為AB=，則要使△ABD的最大面積，點D到AB的距離要最大；當點D在⊙M上的優弧AB的中點時，點D到AB的距離最大，從而得到△ABD的最大面積．

解：連結OA，過點O作OE垂直AB，交AB與點E

已知⊙O的半徑是2，弦AB=，BE⊥BC，根據垂徑定理和勾股定理可得

OE=1，AE=，sin∠OAE=

∴∠OAE=∠OBE=30°

（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）

∠ADB =30°，點D在以AB為弦的⊙M上運動，

∠BMA=60°，

AB=MB=DM=MA=，

當點D在優弧AB的中點時，點D到AB的距離最大，從而得到△ABD的最大面積．

過點D作DN⊥AB于點N

故答案為.