Question

【題目】已知拋物線經過A（2，0）． 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．

（1）求b的值，求出點P、點B的坐標；

（2）如圖，在直線 上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐

標；若不存在，請說明理由；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，使△AMP≌△AMB？如果存在，試舉例驗證你的猜想；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1），P的坐標為（4，），B的坐標是（6，0）（2）D點的坐標為（2, ）（3）存在，證明見解析

【解析】解：（1）∵拋物線經過A（2，0），

∴，解得。

∴拋物線的解析式為。

∵，

∴頂點P的坐標為（4，）。

令y=0，得，解得。

∴點B的坐標是（6，0）。

（2）在直線 上存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形。理由如下：

設直線PB的解析式為，把B（6,0）,P(4, )分別代入，得

， 解得。

∴直線PB的解析式為。

又∵直線OD的解析式為

∴直線PB∥OD。

設直線OP的解析式為，把P(4, )代入，得

，解得。

如果OP∥BD，那么四邊形OPBD為平行四邊形。

設直線BD的解析式為，將B(6,0)代入，得

，解得。

∴直線BD的解析式為。

聯立方程組，解得。

∴D點的坐標為（2, ）。

（3）符合條件的點M存在。驗證如下：

過點P作x軸的垂線，垂足為為C，

則PC=，AC=2，

由勾股定理，可得AP=4，PB=4。

又∵AB=4，∴△APB是等邊三角形。

作∠PAB的平分線交拋物線于M點，連接PM,BM。

∵AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，∴△AMP≌△AMB.（SAS）。

因此即存在這樣的點M，使△AMP≌△AMB.。

（1）由拋物線經過A（2，0），代入即可求出b的值；從而得出拋物線的解析式，化為頂點式即可求出頂點P的坐標；令y=0，即可求出點B的坐標。

（2）用待定系數法，求出直線PB、BD的解析式，聯立和，解之即得點D的坐標。

（3）由勾股定理求出AP、BP和AB的長，證出△APB是等邊三角形，即可作BP的中垂線AM交BP于點M，點M即為所求。