Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E為邊BC延長線上一點，連接DE，BF⊥DE，垂足為點F，BF與邊CD交于點G，連接EG．設CE=x．
（1）求∠CEG的度數；
（2）當BG=2時，求△AEG的面積；
（3）如果AM⊥BF，AM與BC相交于點M，四邊形AMCD的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°．
∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∴∠GBC+∠DGF=90°，∠CDF+∠DGF=90°，
∴∠GBC=∠CDE，
∵∠BGC+∠GBC=90°，∠CDE+∠DEC=90°
∴∠BGC=∠DEC，
在△BCG和△DCE中，

∴△BCG≌△DCE（ASA）．
∴GC=EC，即∠CEG=45°．

（2）在Rt△BCG中，BC=4，，
利用勾股定理，得CG=2．
∴CE=2，DG=2，即得 BE=6．
∴S_△AEG=S_{四邊形ABED}-S_△ABE-S_△ADG-S_△DEG
=
=2．

（3）由AM⊥BF，BF⊥DE，易得AM∥DE．
于是，由AD∥BC，可知四邊形AMED是平行四邊形．
∴AD=ME=4．
由CE=x，得MC=4-x．
∴．
即y=-2x+16，定義域為0＜x＜4．
分析：（1）利用正方形的性質證明△BCG≌△DCE，得出GC=EC，進而求出∠CEG的度數；
（2）利用勾股定理求出CG的長，再利用S_△AEG=S_{四邊形ABED}-S_△ABE-S_△ADG-S_△DEG，進而求出△AEG的面積；
（3）由AM⊥BF，BF⊥DE，易得AM∥DE，于是，由AD∥BC，可知四邊形AMED是平行四邊形，利用梯形的面積公式可得求y關于x的函數解析式．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定以及性質三角形和梯形的面積公式，考查面很廣，綜合性較強．