Question

已知，正方形DEFG內接于△ABC中，且點E，F在BC上，點D，G分別在AB，AC上，

（1）如圖①，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠A=90°，S_△ADG=2，則S_△ABC=

18

．
（2）如圖②，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的邊長．
（3）如圖③，若△ABC是任意三角形，S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，則正方形的邊長為

2

．
（4）如圖④，若△ABC是任意三角形，求證：S正方形DEFG≤

1

2

S△ABC．

Answer 1

分析：（1）設正方形DEFG的邊長為x，根據等腰直角三角形的性質BC邊上的高等于

1

2

BC，然后根據△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式求出x與BC的比，再根據相似三角形面積的比等于相似比的平方列式計算即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出BC，再根據三角形的面積求出BC邊上的高，然后根據△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式計算即可；
（3）設正方形DEFG的邊長為x，△ADG邊DG上的高為y，根據等底的三角形的面積的比等于高的比用y表示出BE、CF，然后根據△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式求出x與y的關系，再根據△ADG的面積列式求出x，然后根據正方形的面積列式計算即可得解；
（4）設正方形DEFG的邊長為x，△ABC邊BC上的高為h，根據△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式整理得到x，然后放縮不等式得到x，再平方根據正方形的面積和三角形的面積公式即可得證．

解答：解：（1）設正方形DEFG的邊長為x，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴BC邊上的高等于

1

2

BC，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

1 2 BC-x

1 2 BC

=

x

BC

，
整理得，BC=3x，
∴

x

BC

=

1

3

，
∵△ADG∽△ABC，
∴

SADG

S△ABC

=（

x

BC

）²，
即

2

S△ABC

=

1

9

，
解得S_△ABC=18；

（2）∵∠A=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=

AB2+AC2

=

42+32

=5，
設△ABC邊BC上的高為h，
則S_△ABC=

1

2

×5h=

1

2

×4×3，
解得h=

12

5

，
設正方形DEFG的邊長為x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
解得x=

60

37

；

（3）設正方形DEFG的邊長為x，△ADG邊DG上的高為y，
∵S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，
∴BE=3y，CF=y，
∴BC=3y+x+y=x+4y，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

y

x+y

=

x

x+4y

，
整理得，x=2y，
∴S_△ADG=

1

2

xy=

1

2

2y•y=1，
解得y=1，
∴x=2，
即正方形的邊長為2；

（4）證明：設正方形DEFG的邊長為x，△ABC邊BC上的高為h，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

h-x

h

=

x

BC

，
∴x=

BC•h

BC+h

=

1

1 BC + 1 h

，
∵

1

BC

+

1

h

≥2

1 BC•h

（當且僅當BC=h時取等號），
∴x≤

BC•h

2

，
•x²≤

1

4

BC•h，
又∵正方形的面積=x²，△ABC的面積=

1

2

BC•h，
∴S_{正方形DEFG}≤

1

2

S_△ABC．

點評：本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質，相似三角形對應高的比等于相似比的性質，三角形的面積，（3）利用等底的三角形的面積的比等于對應高的比表示出BE、CF是解題的關鍵，（4）利用不等式放縮用BC、h表示出x是解題的關鍵．