Question

（2012•濱海縣二模）如圖所示，AB是⊙O的直徑，AB=4，D是⊙O上的一點，∠ABD=30°，OF∥AD交BD于點E，交⊙O于點F．
（1）求DE的長度；
（2）求陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理、余弦三角函數的定義求得BD=2

3

；然后由三角形中位線的定義證得點E是線段BD的中點，即DE=

1

2

BD=

3

；
（2）陰影部分的面積=扇形OFB的面積-△OBE的面積．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
又∠ABD=30°，AB=4，
∴BD=AB•cos∠ABD=4×

3

2

=2

3

；
∵OF∥AD，點O是AB的中點，
∴OE是△ABD的中位線，
∴點E是線段BD的中點，
∴DE=

1

2

BD=

3

；

（2）由（1）知，∠ADB=90°．
∵∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°（三角形內角和定理）；
又∵OF∥AD，
∴∠EOB=∠DAB=60°（兩直線平行，同位角相等）；
∵OB=

1

2

AB=2，
∴S_扇形OBF=

60π×22

360

=

2

3

π；
由（1）知，DE=

1

2

BD，
∴BE=

1

2

BD=

3

，
∴S_△OBE=

1

2

OB•BEsin∠EBO=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

，
∴S_陰影=S_扇形OBF-S_△OBE=

2

3

π-

3

2

．

點評：本題綜合考查了圓周角定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識點．解答該題也可以根據平行線的性質、垂徑定理解題．