Question

（2012•高州市一模）如圖，直線AT切圓O于點A，過A引AT的垂線，交圓O于B，BT交圓O于C，連接AC，
求證：AC²=BC•CT．

Answer 1

分析：由AT為圓O的切線，利用切線的性質得到BA與AT垂直，再由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到∠ACB為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，可得出三角形ABC與三角形TAC相似，由相似得比例，變形后即可得證．

解答：解：∵AT為圓O的切線，
∴BA⊥AT，
∴∠BAC+∠CAT=90°，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠B=∠CAT，又∠ACB=∠TCA=90°，
∴△ABC∽△TAC，
∴

AC

CT

=

BC

AC

，即AC²=BC•CT．

點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．