Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，點P是AB上一動點，點Q是AC的延長線上一動點，且點P從B運動向A、點Q從C運動向Q移動的時間和速度相同，PQ與BC相交于點D，若AB=，BC=16．

（1）如圖1，當點P為AB的中點時，求CD的長；

（2）如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當點P、Q在移動的過程中，設BE+CD=λ，λ是否為常數？若是請求出λ的值，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8

【解析】

（1）過P點作PF∥AC交BC于F，由點P和點Q同時出發，且速度相同，得出BP=CQ，根據PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，則可得出∠B=∠PFB，證出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS證明△PFD≌△QCD，得出，再證出F是BC的中點，即可得出結果；
（2）過點P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF為等腰三角形，可得BE=BF，由（1）證明方法可得△PFD≌△QCD 則有CD=，即可得出BE+CD=8．

解:（1）如圖①，過P點作PF∥AC交BC于F，

∵點P和點Q同時出發，且速度相同，

∴BP=CQ，

∵PF∥AQ，

∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠PFB，

∴BP=PF，

∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，

∴DF=CD=CF，

又因P是AB的中點，PF∥AQ，

∴F是BC的中點，即FC=BC=8，

∴CD=CF=4；

（2）為定值．

如圖②，點P在線段AB上，

過點P作PF∥AC交BC于F，

易知△PBF為等腰三角形，

∵PE⊥BF

∴BE=BF

∵易得△PFD≌△QCD

∴CD=

∴