Question

18．正方形的邊長為a，求它的外接圓的外切正三角形的邊長和面積．

Answer 1

分析 連接OC、OD、OA、OB，求出正方形的中心角，根據勾股定理求出OC，根據正切的概念求出AC，得到AB，根據三角形的面積公式計算即可．

解答 解：連接OC、OD、OA、OB，
∵正方形是圓內接正方形，
∴∠COD=90°，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴AC=$\sqrt{3}$OC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴AB=$\sqrt{6}$a，
△AOB的面積=$\frac{1}{2}$×AB×OC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
∴外接圓的外切正三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²．

點評 本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的求法、靈活運用銳角三角函數是解題的關鍵．