Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O，點E是上的一動點（不與點A、B重合），點F是上的一點，連接OE，OF，分別與交AB，BC于點G，H，且∠EOF＝90°，連接GH，有下列結論：

①；②△OGH是等腰直角三角形；③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；④△GBH周長的最小值為.其中正確的是____________．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

試題①如圖1中，連接OB、OA．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EOF＝∠AOB＝90°，

∴∠AOE＋∠BOE＝∠BOF＋∠BOE，

∴∠AOE＝∠BOF，

∴．

所以①正確；

②如圖1中，在△AOG和△BOH中，

，

∴△AOG≌△BOH；

∴OG＝OH，

∵∠GOH＝90°，

∴△OGH是等腰直角三角形．

所以②正確；

③如圖1中，

∵△AOG≌△BOH，

∴四邊形OGBH的面積＝△AOB的面積＝正方形ABCD的面積，

∴四邊形OGBH的面積不發生變化．

所以③錯誤；

④∵△AOG≌△BOH，

∴AG＝BH，

∴BG＋BH＝BG＋AG＝BC＝4，

設BG＝x，則BH＝4－x，

則GH＝＝＝，

∴當x＝2時GH最小，最小值為，

∴△GBH周長的最小值為4＋．

所以④正確．

故答案為：①②④．