Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A，C在x，y軸正半軸上，反比例函數過OB的中點D，與BC，AB交于M,N，且已知D(m,2),N(8,n)．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若將矩形一角折疊，使點O與點M重合，折痕為PQ，求點P的坐標；

（3）如圖2，若將沿OM向左翻折，得到菱形OQMR，將該菱形沿射線OB以每秒個單位向上平移t秒．

① 用t的代數式表示和的坐標；

② 要使該菱形始終與反比例函數圖像有交點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；；②

【解析】

（1）由題意得OA=8，因為D為OB的中點，得出D（4，2），代入反比例函數的解析式可得；
（2）求出M點的坐標，再利用勾股定理求出OP的長，可得點P坐標；
（3）①過點O′作O′T⊥x軸，垂足為T，可得△OO′T∽△OBA，進而可表示的坐標，利用勾股定理求出CR，可表示的坐標；
②把R′（2t-3，t+4）代入反比例函數的解析式解答即可．

解：（1）∵N（8，n），四邊形OABC是矩形，
∴OA=8，
∵D為OB的中點，
∴D（4，2），
∴2=，則k=8，
∴y=；
（2）∵D（4，2），
∴點M縱坐標為4，
∴4=，則x=2，
∴M（2，4），
設OP=x，則MP=x，CP=4-x，CM=2，由勾股定理得：（4-x）2+22=x2，
解得：x=，即OP=，
∴P（0，）；

（3）①過點O′作O′T⊥x軸，垂足為T．

可得△OO′T∽△OBA，
∵，
∴=，
∵OO′=，
∴OT=2t，O′T=t，
∴O′（2t，t）；
設CR=x，則OR=RM=x+2，
∴x2+42=（x+2）2，解得x=3，即CR=3，
∴R′（2t-3，t+4）；

②∵R′（2t-3，t+4），
根據題意得：t+4=，
化簡得：2t2+5t-20=0，

解得：或（舍去），