Question

（1）圖①至圖③中，AB=，旋轉角∠CAB=30°．
思考：
如圖①，當線段AB繞點A旋轉至AC的位置時，則點B所經過的路徑長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用弧長公式直接求出點B所經過的路徑長即可；再利用扇形面積公式求出圖中陰影部分的面積；
探究一：當線段AB變為以AB為直徑的半圓時，S=S_半圓+S_扇形CAB-S_半圓=S_扇形CAB即可求出；如圖③：S=S_△AEC+S_扇形CAB-S_△ADB，求出即可；
（2）探究二：根據AB=a，旋轉角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），利用弧長公式求出，再利用圖中陰影部分的面積為S_扇形CAB-S_扇形DAE求出即可．
解答：解：（1）思考：如圖①，
∵AB=，旋轉角∠CAB=30°，
∴線段AB繞點A旋轉至AC的位置時，則點B所經過的路徑長為：=，
陰影部分的面積為：=；
故答案為：，；

探究一：
如圖②，當線段AB變為以AB為直徑的半圓時，將其繞點A旋轉至圖②中位置，則圖中陰影部分的面積為：
S=S_半圓+S_扇形CAB-S_半圓=S_扇形CAB=；
故答案為：；

如圖③：
S=S_△AEC+S_扇形CAB-S_△ADB，
∵△ADB≌△AEC；
∴S=S_扇形CAB，
=；
故答案為：．

（2）探究二：
∵AB=a，旋轉角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），
∴點B所經過的路徑長為：，
圖中陰影部分的面積為：S_陰=S_{不規則圖形}+S_扇形CBA-S_{不規則圖形}-S_扇形DEA=S_扇形CAB-S_扇形DAE=．
故答案為：，．
點評：此題主要考查了弧長公式的應用以及扇形面積公式的應用，根據圖象得出S=S_扇形CAB，以及S=S_扇形CAB-S_扇形DAE是解題關鍵．