Question

（1）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結AE、DE、DC．
①求證：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度數．
（2）為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發生產的1200件新產品進行精加工后再投放市場．現有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到這兩個工廠了解情況，獲得如下信息：
信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10天；
信息二：乙工廠每天加工的數量是甲工廠每天加工數量的1.5倍．
根據以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品．

Answer 1

【答案】分析：（1）①求出∠ABE=∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CBD全等即可；
②先根據等腰直角三角形的銳角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根據全等三角形對應角相等求出∠BCD，再根據直角三角形兩銳角互余其解即可；
（2）設甲工廠每天能加工x件產品，表示出乙工廠每天加工1.5x件產品，然后根據甲加工產品的時間比乙加工產品的時間多10天列出方程求解即可．
解答：（1）①證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，
∴∠ABE=∠CBD=90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°，
∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°；

（2）解：設甲工廠每天能加工x件產品，則乙工廠每天加工1.5x件產品，
根據題意得，-=10，
解得x=40，
經檢驗，x=40是原方程的解，并且符合題意，
1.5x=1.5×40=60，
答：甲、乙兩個工廠每天分別能加工40件、60件新產品．
點評：本題（1）考查了全等三角形的判定與性質，是基礎題；（2）考查了分式方程的應用，找出等量關系為兩工廠的工作時間的差為10天是解題的關鍵．