Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=108゜，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求證：BC=CD+AB．（用兩種方法）

Answer 1

分析：法1：（截長法）在BC上取點E使BE=BA，連DE，由BD為角平分線，得到一對角相等，再由AB=EB，BD為公共邊，利用SAS得出三角形ABD與三角形EBD全等，由全等三角形的對應邊相等得到AB=EB，對應角相等得到∠BAC=∠BED=108°，利用鄰補角定義及內角和定理求出∠CDE=∠CED=72°，利用等角對等邊得到CD=CE，由BC=BE+EC，等量代換即可得證；
法2：：（補短法）延長BA至E，使BE=BC，連DE，由BD為角平分線，得到一對角相等，再由CB=EB，BD為公共邊，利用SAS得出三角形CBD與三角形EBD全等，利用全等三角形的對應邊等，對應角相等得到ED=CD，∠E=∠C=36°，利用鄰補角定義及內角和定理求出∠ADE=∠DAE=72°，利用等角對等邊得到EA=ED，等量代換得到AE=DC，由BC=BE=BA+AE，等量代換即可得證．

解答：解：法1：（截長法）在BC上取點E使BE=BA，連DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，

AB=EB ∠ABD=∠EBD BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BAC=∠BED=108°，AB=EB，
∴∠DEC=72゜，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDE=∠CED=72°，
∴CD=CE，
則BC=BE+EC=AB+CD；
法2：（補短法）延長BA至E，使BE=BC，連DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△EBD和△CBD中，

EB=CB ∠ABD=∠CBD BD=BD

，
∴△EBD≌△CBD（SAS），
∴DE=DC，∠E=∠C=36°，
∵∠EAD=72°，
∴∠EDA=∠EAD=72°，
∴EA=ED，
∴CD=DE=AE，
則BC=BE=AB+AE=AB+CD．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．