如圖，已知直線MN經過⊙O上的點A，點B在MN上，連OB交⊙O于C點，且點C是OB的中點，AC= $數學公式$ OB，若點P是⊙O上的一個動點，當AB= $數學公式$ 時，求△APC的面積的最大值．

解：連接OA；
∵C是OB的中點，且AC= $\text{[math]}$ OB，
∴∠OAB=90°，
∴∠O=60°，
∴OA=AC=2；
過點O作OE⊥AC于E，延長EO交圓于點F，則P（F）E是△PAC的AC邊上的最大的高；
在△OAE中，OA=2，∠AOE=30°，
∴OE= $\text{[math]}$ ，
∴PE= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
分析：連接OA，過點O作OE⊥AC于E，延長EO交圓于點F，則P（F）E是△PAC的AC邊上的最大的高，根據已知及三角函數求得AC，PE的值，再根據三角形的面積公式不難求得△APC的面積的最大值．
點評：解此題的關鍵是把有關圓的知識抽象到解三角形中來進行解答．

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②求證：∠MAE=∠NCF．

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