Question

21、已知：如圖，?ABCD中，∠BCD的平分線交AB于E，交DA的延長線于F．
（1）求證：DF=DC；
（2）當DE⊥FC時，求證：AE=BE．

Answer 1

分析：（1）通過角平分線的性質可得出∠DCF=∠FCB，然后根據平行四邊形的對邊平行可得出∠DFC=∠FCB，從而根據等腰三角形的性質可證得結論．
（2）首先根據題意可得出FE=EC，然后根據（1）的結論結合題意條件可證得△AFE≌△BCE，這樣也就證得了結論．

解答：證明：（1）∵FC平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴FD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=DC．
（2）∵DF=DC，DE⊥FC，
∴FE=EC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴FD∥BC
∴∠DFC=∠FCB
又∵∠AEF=∠CEB
∴△AFE≌△BCE，
∴AE=BE．

點評：本題考查了平行四邊形的性質及全等三角形的判定，難度不大，解答本題的關鍵是根據題意將所證的結論進行變形，例如，證線段的相等往往轉化為證三角形的全等．