Question

甲、乙、丙三人分糖塊，分法如下：先在三張紙片上各寫三個正整數p、q、r，使p＜q＜r，分糖時，每人抽一張紙片，然后把紙片上的數減去p，就是他這一輪分得的糖塊數，經過若干輪這種分法后，甲總共得到20塊糖，乙得到10塊糖，丙得到9塊糖，又知最后一次乙拿到的紙片上寫的數是r，而丙在各輪中拿到的紙片上寫的數字的和是18，問：p、q、r分別是哪三個正整數？為什么？

Answer 1

每一輪三人得到的糖塊數之和為

r＋q＋p－3p＝r＋q－2p

設他們共分了n輪，則

n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39.

∵39＝1×39＝3×13.

且n≠1，否則拿到紙片p的人得糖數為0，與已知矛盾n≠39，因為每次至少分出2塊糖，不可能每輪只分1塊糖.

∴n＝3或n＝13.

由于每個人所得糖塊數是他拿到的紙片上數的總和減去np，由丙的情況得到

9＝18－np

∴np＝9 p≥1.

∴n≠13，只有n＝3.

∴p＝3.

把n＝3，p＝3代入①式得

r＋q＝19.

又乙得的糖塊總數為10，最后一輪得到的糖塊r－3塊.

∴r－3≤10，r≤13.

若r≤12，則乙最后一輪拿到的紙片為r，所得糖數為r－p≤9.這樣乙必定要在前兩輪中再抽得一張q或r.這樣乙得的總糖數一定大于等于（r＋q）－2p＝13，這與乙得到的糖數為10塊矛盾.

∴r＞12 ∵12＜r≤13.

∴r＝13.    q＝19－r＝6.

綜上得  p＝3，q＝6，r＝13

甲、乙、丙三人在三輪中抽得的紙片數如下：：