Question

（2003•鎮江）已知，如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，過點E作EG⊥AC于G交BC的延長線于F．
（1）求證：AE=BE；
（2）求證：FE是⊙O的切線；
（3）若BC=6，FE=4，求FC和AG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CE和OE，因為BC是直徑，所以∠BEC=90°，即CE⊥BE；再根據等腰三角形三線合一定理，可以知道CE也是AB的中線，即AE=BE．
（2）根據已知得OE是△ABC的中線，從而得到∠OEC=∠ECG，進而可得到∠OEF=90°，那么就證出EF是切線．
（3）直接利用切割線定理求出CF的長，利用OE∥AC，可以得到比例線段，求出CG的長，那么AG=AC-CG，AG就可求得．
解答：（1）證明：連接CE和OE；
∵BC是直徑，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，
∴BE=AE．

（2）證明：∵BE=AE，OB=OC，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，AC=2OE=6．
∴∠OEC=∠ACE．
又∵EG⊥AC，
∴∠CEG+∠ACE=90°，
∴∠CEG+∠OEC=90°，
∴∠OEF=90°．
∴EF是⊙O的切線．

（3）解：∵EF是⊙O的切線，
∴EF²=CF•BF．
設CF=x，則有x（x+6）=16，
解得，x₁=2，x₂=-8（不合題意，舍去）那么CF=2；
∵OE∥AC，
∴=，
∴=，
∴CG=．
∴AG=AC-CG=6-=．
點評：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識．