Question

如圖1，在△ACD中，AC=2DC，AD=DC ． 

（1）求∠C的度數；

（2）如圖2，延長CA到E，使AE=CD，延長CD到B，使DB=CE，AB、ED交于點O．求證：∠BOD=45º ；

（3）如圖3，點F、G分別是AC、BC上的動點，且S_△CFG=S_{四邊形AFGB ，} 作FM∥BC，GN∥AC，分別交AB于點M、N，線段AM、MN、NB能否始終組成直角三角形？給出你的結論，并說明理由．

Answer 1

（1）用勾股定理逆定理，說明∠C＝90º. 

（2）作DP⊥AB于P，EQ⊥AB與Q，則DP∥EQ，∴△OPD∽△OQE …

不妨設CD＝x（x＞0），則AC＝2x，BD＝3x，BC＝4x，DE＝x

且DP＝x，EQ＝x，∴＝＝

   ∴OD＝DE＝  ………………… (5分)

   ∴在Rt△OPD中，sin∠BOD＝＝

∴∠BOD＝45º.    ……………… (6分)

（3）延長FM、GN，交于點H，可得矩形CFHG. …… (7分)

則S_△HFG＝S_△CFG＝S_{四邊形AFGB}，于是S_△AFM＋S_△BGN＝S_△HMN …… (8分)

而△AFM∽△NGB∽△NHM，且S_△AFM:S_△BGN:S_△HMN＝AM²:BN²:MN²，

設S_△AFM＝kAM²，S_△BGN＝kBN²，S_△HMN＝kMN²，（k＞0）

∴kAM²＋kBN²＝kMN²，即AM²＋BN²＝MN²       …… (9分)

故線段AM、MN、NB能始終組成直角三角形.………… (10分)