Question

（2013•沐川縣二模）如圖，點A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n在射線OA上，點B₁，B₂，B₃，…，B_n-1在射線OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…，△A_n-1A_nB_n-1為陰影三角形，若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面積分別為1、4，則△A₁A₂B₁的面積為

1

2

；面積小于2011的陰影三角形共有

6

個．

Answer 1

分析：根據面積比等于相似比的平方，可得出

A2B1

A3B2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

1

2

，再由平行線的性質可得出

A2B1

A3B2

=

OB1

OB2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

OB2

OB3

=

1

2

，從而可推出相鄰兩個陰影部分的相似比為1：2，面積比為1：4，先利用等底三角形的面積之比等于高之比可求出第一個及第二個陰影部分的面積，再由相似比為1：2可求出面積小于2011的陰影部分的個數．

解答：解：由題意得，△A₂B₁B₂∽△A₃B₂B₃，
∴

A2B1

A3B2

=

S△A2B1B2 S△A3B2B3

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

S△A2B1B2 S△A3B2B3

=

1

2

，
又∵A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，
∴

A2B1

A3B2

=

OB1

OB2

=

OA1

OA2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

OB2

OB3

=

1

2

，
∴OA₁=A₁A₂，B₁B₂=

1

2

B₂B₃
繼而可得出規律：A₁A₂=

1

2

A₂A₃=

1

4

A₃A₄…；B₁B₂=

1

2

B₂B₃=

1

4

B₃B₄…
又△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面積分別為1、4，
∴S_△A1B1A2=

1

2

，S_△A2B2A3=2，
繼而可推出S_△A3B3A4=8，S_△A，4B4A5=32，S_△A5B5A6=128，S_△A6B6A7=512，S_△A7B7A8=2048，
故可得小于2011的陰影三角形的有：△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，△A₄B₄A₅，△A₅B₅A₆，△A₆B₆A₇，共6個．
故答案是：

1

2

；6．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質及平行線的性質，解答本題的關鍵是掌握相似比等于面積比的平方，及平行線分線段成比例，難度較大，注意仔細觀察圖形，得出規律．