Question

6．如圖，在?ABCD中，E為BC中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．求證：
（1）△ABE≌△FCE；
（2）$\frac{△ABE的周長(zhǎng)}{△AFD的周長(zhǎng)}=\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD=BC，AB=CD，由平行線的性質(zhì)證出∠FAB=∠F，由AAS證明△ABE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=EF，BF=CE，AB=CD=CF，因此AD=2BE，DF=2AB，AF=2AE，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠FAB=∠F，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$AD，
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠FEC}&{\;}\\{∠FAB=∠F}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（AAS）．
（2）由（1）得：△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，BF=CE，AB=CD=CF，
∴AD=2BE，DF=2AB，AF=2AE．
∴$\frac{△ABE的周長(zhǎng)}{△AFD的周長(zhǎng)}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．