Question

如圖甲，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)B，直線m垂直AB于點(diǎn)C，交⊙O于P、Q兩點(diǎn)．連接AP，過O作OD∥AP交l于點(diǎn)D，連接AD與m交于點(diǎn)M．
（1）如圖乙，當(dāng)直線m過點(diǎn)O時，求證：M是PO的中點(diǎn)；
（2）如圖甲，當(dāng)直線m不過點(diǎn)O時，M是否仍為PC的中點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：（1）連接PD，
∵AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)B，直線m垂直AB于點(diǎn)C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四邊形APDO是平行四邊形，
∴M是PO中點(diǎn)；

（2）M仍為PC的中點(diǎn)，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴①，
又易證△ACM∽△ABD，
∴，
∵AB=2OB，
∴，
∴②，
由①②得，，
∴即PC=2MC．
M仍為PC的中點(diǎn)．
分析：（1）連接PD，由已知條件證明四邊形APDO是平行四邊形即可證明M是PO的中點(diǎn)；
（2）M仍為PC的中點(diǎn)，通過證明△APC∽△ODB和△ACM∽△ABD，得到有關(guān)的比例式，再證明PC=2MC．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)以及利用比例式證明線段相等，題目的難度不小．