Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，CD為中線，點Q在線段CD上運動，將線段QA繞點Q順時針旋轉，使得點A的對應點E落在射線BC上，連接BQ，設∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）．
（1）當0°＜α＜30°時，
①在圖1中依題意畫出圖形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
②探究線段CE，AC，CQ之間的數量關系，并加以證明；

（2）當30°＜α＜60°時，直接寫出線段CE，AC，CQ之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析；∠BQE=60°+2α；（2）CE+AC=CQ；證明見解析；（3）AC-CE=CQ．

【解析】

（1）①先根據等邊三角形的性質的QA=QB，進而得出QB=QE，最后用三角形的內角和定理即可得出結論；
②延長CA到點F，使得AF=CE，連接QF，作QH⊥AC于點H．先判斷出△QAF≌△QEC，得出QF=QC，再判斷出△QCF是底角為30度的等腰三角形，再構造出直角三角形即可得出結論；
（2）同②的方法即可得出結論．

（1）當0°＜α＜30°時，
①畫出的圖形如圖1所示，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°．
∵CD為等邊三角形的中線，
∴CD是AB的垂直平分線，

∵Q為線段CD上的點，
∴QA=QB．
∵∠DAQ=α，
∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵線段QE為線段QA繞點Q順時針旋轉所得，
∴QE=QA．
∴QB=QE．
∴∠QEB=∠QBE=60°-α，
∴∠BQE=180°-2∠QBE=180°-2（60°-α）=60°+2α；
②CE+AC=CQ；證明：

如圖2，延長CA到點F，使得AF=CE，連接QF，作QH⊥AC于點H．

∵∠BQE=60°+2α，點E在BC上，
∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=（60°+2α）+（60°-α）=120°+α．
∵點F在CA的延長線上，∠DAQ=α，
∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．
∴∠QAF=∠QEC．
又∵AF=CE，QA=QE，
∴△QAF≌△QEC．
∴QF=QC．
∵QH⊥AC于點H，
∴FH=CH，CF=2CH．
∵在等邊三角形ABC中，CD為中線，
點Q在CD上，
∴∠ACQ=∠ACB=30°，
即△QCF為底角為30°的等腰三角形．
∴CH＝CQcos∠HCQ＝CQcos30°＝CQ．
∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH＝CQ．
（2）如圖3，當30°＜α＜60°時，
在AC上取一點F使AF=CE，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°．
∵CD為等邊三角形的中線，
∵Q為線段CD上的點，
∴CD是AB的垂直平分線，
由等邊三角形的對稱性得QA=QB．
∵∠DAQ=α，
∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵線段QE為線段QA繞點Q順時針旋轉所得，
∴QE=QA．
∴QB=QE．
∴∠QEB=∠QBE=60°-α=∠QAF，
又∵AF=CE，QA=QE，
∴△QAF≌△QEC．
∴QF=QC．
∵QH⊥AC于點H，
∴FH=CH，CF=2CH．
∵在等邊三角形ABC中，CD為中線，點Q在CD上，
∴∠ACQ=∠ACB=30°，
即△QCF為底角為30°的等腰三角形．
∴CH＝CQcos∠HCQ＝CQcos30°＝CQ．
∴AC-CE=AC-AF=CF=2CH＝CQ．