Question

恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世，著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50km，B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區P，向A、B兩景區運送游客，小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S₁=PA+PB，圖（2）是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A'，連接BA'交直線X于點P），P到A、B的距離之和S₂=PA+PB。

（1）求S₁、S₂，并比較它們的大小；
（2）請你說明S₂=PA+PB的值為最小；
（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km，請你在X旁和Y旁各修建一服務區P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。

Answer 1

解：（1）①過B作BC⊥AP，垂足為C 則PC=40， 又AP=10， ∴AC=30 在Rt△ABC 中，AB=50，AC=30 ∴BC=40 ∴ BP= S1=； ②過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50， 又BC=40 ∴BA'= 軸對稱知：PA=PA' ∴S2=BA'= ∴S1＞S2。 （2）如圖（2），在公路上任找一點M，連接MA，MB，MA'， 由軸對稱知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'＞A'B ∴S2=BA'為最小。 （3）過A作關于X軸的對稱點A'，過B作關于Y軸的對稱點B'， 連接A'B'，交X軸于點P，交Y軸于點Q，則P，Q即為所求 過A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點G A'B'= ∴所求四邊形的周長為。